<수학을 요리하다>

집밥 만들기처럼 쉽게 알려주는 카테고리 이론

유지니아 쳉 지음 / 이화란 옮김 380페이지 / 신국판(152*224) 16,000원 초판 1쇄 발행 2016년 3월 4일 ISBN 979-11-7022-030-5 03410 분류: 자연 과학 / 수학 발행: 처음북스 연락처: T. 070 7018 8812 F. 02 6280 3032 cheombooks@cheom.net 이상모 편집장

 

 

 

수학을 가지고 무엇을 하는 것일까? 우리 머릿속에는 ‘수학=입시’라는 등식만 떠오른다. 골치 아픈 공식을 외우고, 뭐가 뭔지도 모르는 미적분 문제를 풀다가 점수를 얻는다. 그것도 숫자로.

도대체 수학을 가지고 무엇을 하는 것인지 이해하지 못한 상태에서 공부를 하면 남는 현실은 이것이다. “수포자.”

이 책 <수학을 요리하다>는 수학은 세상을 편하게 만들기 위해 존재하는 것이라고 말한다. 그리고 또한 이 책에서 설명하는 ‘카테고리 이론’은 수학을 쉽게 만들기 위해 존재하는 것이라고 한다. 집밥 만들기처럼 쉽게 설명하는 카테고리 이론은 그래서 ‘수학의 수학’이다.

 

 

인생은 어렵고 수학은 쉽다

이게 무슨 소리인가? 수학이 얼마나 어려운데 수학이 쉽다니. 그러나 인생에 비하면 수학은 정말 쉽다. 수학은 모든 것이 논리로 통하는 세계이기 때문이다. 이 세상은 논리적으로 돌아가는 게 전혀 없어 보이는데 수학은 모든 것이 논리적으로 돌아가고, 논리가 없으면 수학이 아니다.

이 책에서는 수학을 이렇게 정의한다.

“수학은 논리 법칙을 사용하여 논리 법칙을 따르는 모든 것을 연구하는 것이다.”

그래서 논리적이지 않은 것은 연구하지 않는다. 얼마나 간단한가?

수학은 또 논리가 통하지 않는 세계를 ‘추상’을 사용하여 논리 있게 만든다.

한 아이에게 질문한다고 생각해보자.

“왼손에 사과 두 개, 오른손에 초콜릿 두 개가 있어요. 모두 합하면 몇 개지요?”

아이는 대답한다. “두 개요. 초콜릿은 제가 벌써 먹어버렸거든요.”

수학은 여기에서 필요하지 않은 사실들을 제거하여 추상함으로써 세상을 논리 있게 만든다.

이 문제에서는 사과도 필요 없고, 초콜릿도 필요 없고, 아이도 필요 없다.

우리에게 필요한 것은 두 개와 두 개를 합하면 어떤 결과가 나오느냐 하는 것이다. 추상을 통해 기호로 바꾸면 이것이다.

2+2=4

아주 간단하다.

이 책에서 말하고자 하는 수학은 말 그대로 쉽다는 것이다. 게다가 요리에 비유까지 하며 더더욱 간단하게 수학의 개념을 말해준다.

 

그래도 복잡한 수학

원래 수학은 이렇게 쉬운 것이었으나 수학도 점점 발달하다 보니 여러 분류로 나뉘고 복잡하게 변했다. 이 수학과 저 수학이 다 다른 말을 하고 있는 것 같다. 하지만 모든 수학은 논리를 사용하기에 서로 통하는 길이 있다.

서로 비슷한 성질의 수학을 연결해서 반대쪽으로 통하는 길만 뚫어 놓으면 대부분의 문제가 해결되지 않을까? 이렇게 수, 집합, 수식, 함수 등을 범주(카테고리)로 만들어서 수학을 더욱 쉽게 만들려는 노력으로 탄생한 것이 카테고리 이론(범주론)이다.

가장 유명한 비유로 도넛과 손잡이가 있는 물컵의 비유가 있다. 찰흙으로 도넛을 만들었다고 가정해보자. 이 도넛을 가지고 손잡이가 있는 물컵을 만들어보자. 도넛의 가운데 구멍은 손잡이가 되고, 나머지 부분을 몰아서 오목하게 만들면 물컵이 된다.

그러므로 도넛과 물컵은 같다. 도넛에서 통하는 수학이라면 물컵에서도 통한다. 그러나 도넛에서 통하는 수학은 식빵에서는 통하지 않는다. 식빵은 구멍이 없다. 도넛을 식빵처럼 만들려면 공간을 메워야 한다. 그러면 같은 법칙이 통하지 않는다.

카테고리 이론은 범주를 구분함으로써 수학을 편하게 만든다.

이 책에서는 카테고리 이론의 고차원 영역까지 탐구하지는 않는다. 다만 왜 카테고리 이론이 무엇을 하기 위한 것인지를 알려줄 뿐이다. 그래서 궁극적으로 우리는 수학을 가지고 무엇을 하면 좋을지를 깨닫게 된다.

 

 

지은이: 유지니아 쳉 Eugenia Cheng

영국 셰필드 대학교(University of Sheffield)에서 순수과학을 가르치고 있다. 영국 캠브리지 대학교(University of Sheffield)에서 수학을 공부한 다음에는 동 대학은 물론, 미국 시카고 대학교(University of Chicago), 프랑스의 니스 대학교(Uni versity of Nice)에서도 박사 후 연구(Post-Doctoral Work)를 수행하였다. 그녀의 강의는 2007년 유튜브를 통해 대중들에게 공개된 이후 지금까지 1백만 여건의 조회 수를 기록하고 있다. 콘서트 피아니스트로서도 활약 중이고, 영어, 프랑스어 심지어는 광동어까지 구사할 만큼 다재다능한 유지니아 쳉의 최종목표는 “세상의 모든 ‘수학 공포증’을 없애는 것”이다.

 

옮긴이: 이화란

한국방송통신대학교 영어영문학과를 졸업하고 현재 프리랜서 번역가로 활동 중이다. 영미 문화와 한국 문화의 사이를 잇는 다리가 되어주겠다는 꿈을 꾸며 살고 있다. 역서로는 『미치광이 예술가의 부활절 살인』, 『위(Oui), 셰프』, 『맛있는 베트남』이 있다.

 

책 속에서

난 하나에 36펜스짜리 우표 두 개를 산다.

그럼 얼마일까?

초등학교에서 아이들이 이런 종류의 문제를 풀 땐 종종 ‘문장제word problem’라는 표현을 쓴다. 이런 문제는 문제가 문장으로 제시되어 있고 ‘문장제’를 풀려면 첫 단계로 문장제를 숫자와 기호로 바꿔야 하기 때문이다.

36 × 2 = ?

이것이 추상의 과정이다.

 

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수학은 자체 조직 체계가 필요할 만큼 거대해진 것이다. 수학은 좀 더 분명히 생각할 필요가 있었고, 그래서 카테고리 이론이 탄생했다.

그러자 뭔가 놀라운 일이 벌어졌다. 수학이라는 것이 숫자에 대한 연구로 시작되었지만 똑같은 테크닉을 다른 모든 종류의 연구에도 사용할 수 있다는 것을 알게 된 것처럼, 카테고리 이론도 위상학에 대한 연구로 시작되었지만 똑같은 테크닉을 광대한 범위의 수학에서 사용할 수 있다는 것을 깨닫게 되었다. 카테고리 이론은 많이 성장하여 자신의 ‘아버지’가 상상했던 것보다 거대한 영향력을 갖게 되었다.

 

추천사

 

“유지니아 쳉의 매력적인 새책은 소박한 비유와 풍자가 가득하다. 수학은 채식자의 브라우니이고, 지하철 지도고, 지저분한 책상이다. 쳉은 마치 브라우니, 지도, 책상을 대하듯이 편하게 수학을 대한다. 이 책을 다 읽었을 때쯤이면 당신도 그렇게 되어 있을 것이다.

-조단 엘렌버그 위스콘신매디슨대학교 수학과 교수, 『잘못되지 않을 수 없음How Not to Be Wrong』의 저자

 

 

“매력적이면서도 독창적인 책! 수학은 요리와 같다는 중심적 비유는 놀랍게도 적절하고, 대단히 재미있다. 소화가 잘되면서도 맛있으며 건강에도 좋다. 『수학을 요리하다』는 진짜 물건이다.”

-스티븐 스트로가츠 코넬대학교 수학과 교수, 『x 의 즐거움The Joy of x』의 저자

 

 

“이 즐겁고도 놀라운 책에서 유지니아 쳉은 수학의 숨어 있는 아름다움을 열정과 소박함을 겸비해서 풀어낸다. 『수학을 요리하다』를 읽고나면, 다시는 수학을 같은 방식으로 볼 수 없게 될 것이다(음식도!).”

-로베르토 트로타 런던 임페리얼 콜리지 천체물리학자, 『우주에 관한 거의 모든 것The Edge of the Sky』의 저자

 

 

차례

 

 

프롤로그 008

 

수학

1 수학이란 무엇인가 014

2 추상 024

3 원리 066

4 프로세스 083

5 일반화 101

6 내적 vs 외적 138

7 공리화 161

8 수학으로 무엇을 하는가 196

 

카테고리 이론

9 카테고리 이론이란 무엇인가 222

10 맥락 229

11 관계 250

12 구조 281

13 동일성 303

14 보편적 특성 326

15 카테고리 이론으로 무엇을 하는가 357

 

감사의 말 379